A KSH fekete-fehér logója

Káosz-játék

  1. Vegyél egy háromszög lemezt a síkon!
  2. Véletlenszerűen válaszd ki egy belső pontját!
  3. Véletlenszerűen válaszd ki a háromszög egyik csúcsát!
  4. Képzeletben egyenes szakasszal kösd össze a két választott pontot, majd jelöld meg ennek felezőpontját!
  5. Térj vissza a 3. lépésre!

A statisztika ereje

A vizualizáción végigkövethetjük, hogyan rajzolódik ki véletlen elemekből egy egzaktul definált matematikai objektum.

Sierpiński-háromszög

A „karácsonyfa” formáját egy geometriai fraktál, a Sierpiński-háromszög adja.

A Sierpiński-háromszög fraktál definíciója:

  1. Vegyél egy háromszöget!
  2. Húzd be a középvonalait!
  3. Távolítsd el a középső háromszöget!
  4. Ismételd ezeket a lépéseket a keletkezett kis háromszögekre!

A k-adik iteráció után kapott háromszögek száma: 3k.

A fraktál (S) nem csupán az iterációk végeredményeként, hanem a keletkező halmazok végtelen metszetének is tekinthető.

$$ S = \bigcap_{k=0}^{\infty} S_k $$

Az alábbi egyenlet a fraktál „ujjlenyomata”. Azt fejezi ki, hogy az egzakt alakzat (S) előállítható saját maga háromkicsinyített másolatának uniójaként.

$$ S = \bigcup_{i=1}^{3} f_i(S) $$

Az f1, f2, f3 a generáló rendszer három affin transzformációja.

A Sierpiński-háromszög Haussdorff-dimenziója:

$$ D = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585 $$

A fraktálokat a gyakorlatban sztochasztikus módszerekkel jelenítjük meg.

Az animáció a „káosz-játék” eljárást alkalmazza.

Kellemes, békés Karácsonyt kívánunk!